多项式插值方法、带导插值

《应用数值分析》
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目录

2. 函数插值方法

2.1 多项式插值的存在唯一性

2.1.1 插值相关定义

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的实值函数，已知在 $[a,b]$ 上的 $n+1$ 个互异节点 $x_i$ 及其相应函数值 $f_i=f(x_i)$，要求构建近似函数 $p$，使得：

  • 插值条件：$p(x_i)=f_i \quad (i=0,1,\cdots,n)$
  • 被插函数：$f$
  • 插值函数：$p$
  • 插值节点：$x_i$
  • 插值区间：$[a,b]$

2.1.2 插值多项式

2.1.3 插值定理

设已知 $[a,b]$ 上的函数 $f$ 在 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 上的值 $f_i=f(x_i)(i=0,1,\cdots,n)$，则存在唯一的次数 $\leqslant n$ 的多项式 $p_n(x) \in P_n$ 满足

2.2 $Lagrange$ 插值公式

2.2.1 线性插值

线性插值也称为一次插值。已知函数的两个点 $(x_0,f_0)$，$(x_1,f_1)$，必存在唯一的次数 $\leqslant 1$ 的多项式 $L_1(x)$ 满足：

不难构造并验证所求的 $L_1(x)$ 就是

称上述等式为线性（一次）插值多项式。记

则称 $l_0(x)$，$l_1(x)$ 为线性插值基函数。于是，可知线性插值函数是线性插值基函数 $l_0(x)$，$l_1(x)$ 与函数值 $f_0$，$f_1$ 的线性组合。

2.2.2 二次插值

二次插值也称为抛物线插值。已知函数的三个点 $(x_0,f_0)$，$(x_1,f_1)$，$(x_2,f_2)$，根据定理，必存在唯一的次数 $\leqslant 2$ 的插值多项式 $L_2(x)$ 满足：

采用基函数方法，仿照线性插值，作三个二次插值基函数：

同样，注意到它们的构造规律，并可验证它们具有下列性质：

于是，通过验证插值条件，可知所求二次插值多项式为：

称为二次（抛物线）插值多项式。以下还可将线性插值和二次插值推广到一般情形。

2.2.3 $n$ 次 $Lagrange$ 插值

已知函数的 $n+1$ 个点 $(x_i,f_i)(i=0,1,\cdots,n)$，根据定理，必存在唯一的次数 $\leqslant n$的多项式 $L_n(x)$ 满足：

仍仿照上述基函数方法，由 $n+1$ 个节点 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$ 作 $n+1$ 个 $n$ 次插值基函数：

容易验证，它们具有下列性质：

或采用所谓 $Kronecker$（克罗内克尔）符号

基函数的性质可表示为：

于是，所求的插值多项式为：

或写成紧凑格式：

这种由插值基函数 $l_i(x)$ 和函数值样本 $f_i \ (i=0,1,\cdots,n)$ 构造的插值函数，便称为 $n$ 次 $Lagrange$ 插值函数，或称为插值多项式的 $Lagrange$ 形式。

理论分析中为了简化形式，常引用记号

并由对数求导法可推导出

于是，基函数表示成

2.2.4 余项公式

利用插值多项式 $L_n(x)$ 作为 $f(x)$ 的近似函数，在 $[a,b]$ 上有误差（截断误差）：

称为插值多项式的余项。其中，当 $x=x_i \ (i=0,1,\cdots,n)$ 时，$R(x_i)=0$。对余项的估计有一个理论的结果：

设 $f \in C^n[a,b]$，且 $f^{(n+1)}$ 在 $(a,b)$ 内存在，则 $f$ 的 $n$ 次插值多项式 $L_n$ 对任何 $x\in[a,b]$，有插值余项

其中，$\xi \in (a,b)$ 且与 $x$ 有关，$\omega_{n+1}(x)=\prod \limits_{i=0}^n(x-x_i)$

2.3 带导插值：$Hermite$ 插值公式

2.3.1 带导插值的提法

如果不仅已知插值节点处的函数值，而且还掌握插值节点处的导数值（1 阶甚至高阶）；或者说，不仅要求在节点处插值多项式与被插函数的值相等（插值条件），而且还要求相应阶的导数值也相等（相切），这就是带导插值，也称 $Hermite$（埃尔米特）插值。

设已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 处的函数值 $f_i = f(x_i)$ 和 1 阶导数值 $f{}’_i = f{}’(x_i) \ (i=0,1,\cdots,n)$，或记为离散数据

求作一个次数尽可能低的多项式 $H(x)$，满足插值条件：

这样的多项式 $H(x)$ 就被称为 $f$ 的带导插值多项式，或称为带导插值多项式的 $Hermite$ 形式。

2.3.2 带导插值定理

对已知数据 $(2.3.1)$，存在唯一的次数 $\leqslant 2n+1$ 的多项式 $H_{2n+1}(x) \in P_{2n+1}$，满足插值条件：

2.3.3 $Hermite$ 插值公式及其余项公式

插值基函数

仿照 $Lagrange$ 插值多项式的做法，用基函数的方法来求插值多项式 $H_{2n+1}(x)$。如果能够由已知插值节点 $x_i \ (i=0,1,\cdots,n)$ 作出 $2n+2$ 个 $2n+1$ 次插值基函数

且它们具有下列性质：

则容易验证，满足插值条件的 $2n+1$ 次 $Hermite$ 插值多项式为：

其中插值基函数为：

余项公式

设函数 $f \in C^{2n+1}[a,b]$，且 $f^{(2n+2)}$ 在 $(a,b)$ 内存在，则 $f$ 的 $Hermite$ 插值多项式 $H_{2n+1}(x)$ 的余项公式为：

其中，$\xi = \xi(x) \in (a,b)$，$\omega_{n+1}(x)=\prod \limits_{i=0}^n(x-x_i)$。

2.3.4 $Hermite$ 插值的常用情形

两个节点 $x_0,x_1$（即 $n=1$） 的三次 $Hermite$ 插值多项式 $H_3(x)$ 是应用中最基本的情形。这时，基函数为：

三次 $Hermite$ 插值多项式 为：

插值余项为：