数值分析笔记 7：矩阵特征值计算

矩阵特征值和特征向量、乘幂法、反幂法

7. 矩阵特征值计算

设 $\pmb{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$\pmb{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 是 $n$ 维列向量。若有数值 $\lambda$，使得下面的矩阵方程：

$\pmb{A}\pmb{x} = \lambda\pmb{x}$

有非零解 $\pmb{x}$，则称数值 $\lambda$ 为方阵 $\pmb{A}$ 的特征值，而对应的非零解 $\pmb{x}$ 称为对应特征值 $\lambda$ 的特征向量。

将上式变换为：

$(\pmb{A} - \lambda \pmb{I})\pmb{x}=\pmb{0}$

于是，当且仅当方程的系数矩阵行列式为零时，即

$\det(\pmb{A} - \lambda \pmb{I})=0$

则方程有非零解。将上式等号左边按 $\lambda$ 展开，得到 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，称为 $\pmb{A}$ 的特征多项式，上式也变成多项式方程：

$a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0$

特征值 $\lambda$ 即为 $n$ 次多项式方程的解。

输入：矩阵 $\pmb{A}$，精度要求 $\varepsilon$，迭代次数上限 $N$

输出：模数最大的特征值 $\lambda_1$ 及对应的特征向量 $\pmb{x}$

算法过程：

任意取一个非零向量 $\pmb{V}_0=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，迭代次数 $k=0$，向量 $\pmb{V}$ 中绝对值最大的分量 $m_0$
$\pmb{U}^{(k)}=\pmb{A}\pmb{V}^{(k-1)}$，$m = \max \{ \pmb{U}^{(k)} \}$，$\pmb{V}^{(k)}=\displaystyle{\frac{1}{m}}\pmb{U}^{(k)}$，$k=k+1$
若 $|m-m_0| < \varepsilon$，则转到 4；若 $k \geqslant N$，则显示“超出最大迭代次数”，停机；否则，$m_0 = m$，转向 2
$\lambda_1 = m$，$\pmb{x} = \pmb{V}^{(k)}$，输出结果结束

输入：矩阵 $\pmb{A}$，精度要求 $\varepsilon$，迭代次数上限 $N$

输出：模数最小的特征值 $\lambda_n$ 及对应的特征向量 $\pmb{x}$

算法过程：

任意取一个非零向量 $\pmb{V}_0=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，迭代次数 $k=0$，向量 $\pmb{V}$ 中绝对值最大的分量 $m_0$
将矩阵 $\pmb{A}$ 作 $LU$ 分解：$\pmb{A} = \pmb{L}\pmb{U}$，得到下三角矩阵 $\pmb{L}$ 和上三角矩阵 $\pmb{U}$
解线性方程组 $\pmb{L}\pmb{W}=\pmb{x}$，得到解 $\pmb{W} \in \pmb{R}^n$。再解线性方程组 $\pmb{U}\pmb{Y}=\pmb{W}$，得到解 $\pmb{Y} \in \pmb{R}^n$。$m \leftarrow$ 向量 $Y$ 中绝对值最大的分量，$\pmb{x} \leftarrow \displaystyle{\frac{1}{m}} \pmb{Y}$，$k \leftarrow k+1$
若 $\left| \displaystyle{\frac{1}{m}} - \displaystyle{\frac{1}{m_0}} \right| < \varepsilon$，且 $|m-m_0| < \varepsilon$，则转到 5；若 $k \geqslant N$，则显示“超出最大迭代数”，停机；否则，$m_0 \leftarrow m$，转回 3
输处模最小的特征值 $\lambda_n = \displaystyle{\frac{1}{m}}$，对应的特征向量 $\pmb{x} = \pmb{V}^{(k)}$，算法结束

🚩推荐阅读（由hexo文章推荐插件驱动）