数值分析例题整理

目录

1. 误差与范数

1.1 误差的定义

证明:设 $x$ 的非零近似值 记为规格化形式 ,其中 $k$ 为整数,$a_1,a_2,\cdots a_n \in { 0,1,\cdots,9; \ a \ne 0 }$,则

1.如果 有 $n$ 位有效数字,则

2.如果

则 $x^*$ 至少有 $n$ 位有效数字。

1.2 应取几位有效数字

要使 $\sqrt{20}$ 的近似值的相对误差不超过 $0.1\%$,问用计算器计算时,应取几位有效数字?

1.3 相对误差允许范围

计算球体积 $V=\displaystyle{\frac{4}{3}} \pi r^3$ 时,为使 $V$ 的相对误差不超过 $0.3\%$,求半径 $r$ 的相对误差允许范围。

1.4 算术运算的误差估计

设 $t=1.21$,$\mu = 3.65$,$\upsilon = 9.81$ 均准确到小数点后两位,试估计下列计算的相对误差:$x=t \mu + \upsilon$。

1.5 数值稳定性-1

分析递推公式

的数值稳定性,设实际计算时,取 $\sqrt{783} \approx 27.982$ 进行近似计算。

1.6 数值稳定性-2

试导出计算 $In = \displaystyle{\int{0}^{1}}x^ne^x\mathrm{d}x \ (n=0,1,2,\cdots)$ 的递推公式,并讨论其数值稳定性。

1.7 函数序列的一致收敛性

证明函数序列 $fn(x) = \displaystyle{\frac{x}{1+n^2x^2}}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$,即 $\lim \limits{n \to \infty} f_n(x) = 0$。

1.8 向量范数

设 $\pmb{x} = (2,-4,3)^T$,求

1.9 矩阵范数

,求

2. 函数插值方法

2.1 多项式插值定理

证明:设已知 $[a,b]$ 上的函数 $f$ 在 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 上的值 $f_i=f(x_i) \ (i=0,1,\cdots,n)$,则存在唯一的次数 $\leqslant n$ 的多项式 $p_n(x) \in \pmb{P}_n$ 满足:

2.2 求过给定样点的插值多项式

求过三个样点 $A(0,1)$,$B(1,2)$,$C(2,3)$ 的插值多项式。

2.3 $Lagrange$ 线性插值/二次插值

设已知 $f(x) = e^{-x}$ 的四个函数值如下表所示:

试用 $Lagrange$ 公式的线性插值求 $e^{-1.4}$ 的近似值,用二次插值求 $e^{-2.1}$ 的近似值。

2.4 插值基函数的性质

证明:由 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 构成的 $n+1$ 个插值基函数 $l_i(x) \ (i=0,1,\cdots,n)$ 具有性质:

2.5 三次 $Hermite$ 带导插值-1

对函数 $f(x) = \ln (x)$,给定:

试用三次 $Hermite$ 插值多项式 $H_3(x)$ 计算 $f(1.5)$ 的近似值并估计误差。

2.6 三次 $Hermite$ 带导插值-2

试用多种解法求一个次数 $\leqslant 3$ 的插值多项式 $H_3(x)$,满足插值条件:

3. 曲线拟合/连续函数逼近

3.1 线性拟合

已知实验数据如下:

试求其拟合曲线。

3.2 二次拟合

设已知实验数据如下表:

试求其二次多项式拟合模型:

3.3 指数模型的线性化拟合

已知离散数据如下(权 $\rho \equiv 1$):

求形如 $s(x) = ae^{bx}$ 的拟合曲线。

3.4 双曲线模型的线性化拟合

已知离散数据如下(权 $\rho \equiv 1$):

求形如 $s(x) = \displaystyle{\frac{x}{ax+b}}$ 的拟合曲线。

3.5 超定方程组的近似解

求下列超定方程组的近似解:

3.6 法方程的矩阵形式-1

已知实验数据如下:

以法方程的矩阵形式求解。

3.7 法方程的矩阵形式-2

已知实验数据如下:

按最小二乘拟合求形如 $s(x)=ax+bx^2$ 的经验公式。

5. 方程组数值解法——直接法

5.1 顺序 $Gauss$ 消去法

用顺序 $Gauss$ 消去法(消去过程加回代过程)解方程组:

5.2 列主元 $Gauss$ 消去法

用列主元 $Gauss$ 消去法解方程组,并求系数矩阵行列式值 $\det \pmb{A}$:

5.3 直接三角分解法

用直接三角分解法解方程组:

6. 方程组数值解法——迭代法

6.1 $Jacobi$ 迭代法/$Gauss$-$Seidel$ 迭代法-1

已知方程组:

分别用

  1. $Jacobi$ 迭代法
  2. $Gauss$-$Seidel$ 迭代法

以 $\pmb{x}^{(0)}=(0,0,0)^T$ 为初始向量,计算其前三个迭代值,并与精确解 $\pmb{x}^*=(3,2,1)^T$ 比较。

6.2 $Jacobi$ 迭代法/$Gauss$-$Seidel$ 迭代法-2

用 $Jacobi$ 迭代法和 $Gauss$-$Seidel$ 迭代法求解方程组 $\pmb{A}\pmb{x}=\pmb{b}$,其中:

取 $\pmb{x}^{(0)} = (1,-1,1)^T$,$\varepsilon = \displaystyle{\frac{1}{2}} \times 10^{-6}$。

6.3 迭代法收敛性-1

已知方程组:

使用 $J$ 法和 $GS$ 法求解此方程的收敛性。

6.4 迭代法收敛性-2

试证明解下列方程组:

的 $J$ 法收敛;而 $GS$ 法发散。

6.5 严格对角占优矩阵

设方程组:

试写出解此方程组的收敛的 $J$ 迭代公式和 $GS$ 迭代公式。

6.6 收敛速度问题

设方程组 $\pmb{A}\pmb{x}=\pmb{b}$,其中 ,用下列迭代公式求解:

  1. 试找出使迭代收敛的实数 $\alpha$ 的取值范围;
  2. 试求出使迭代收敛最快的 $\alpha$ 值。

7. 非线性方程组的数值解法

7.1 二分法

设方程 $f(x) = e^x + 10x -2 = 0$,试:

  1. 证明它在 $(0,1)$ 内有且只有一个实根 $x^*$;
  2. 用二分法求这个实根 $x^*$;
  3. 若要求 $|x^* - x_n| < 10^{-6}$,问需二分区间 $[0,1]$ 多少次?

7.2 不动点迭代法

用不动点迭代法求方程 $x^3 + 4x^2 - 10=0$ 在 $[1,2]$ 内的一个实根。

7.3 收敛性基本定理-1

证明:设迭代函数 $\varphi \in C[a,b]$ 满足条件:

  1. 映内性:当 $a \leqslant x \leqslant b$ 时,有 $a \leqslant \varphi(x) \leqslant b$;
  2. 压缩性:存在常数 $0 < L < 1$,$L$ 称为压缩系数,使得

则可得:

  1. 函数 $\varphi$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一的不动点 $x^*$;
  2. 对任意初值 $x0 \in [a,b]$,迭代公式 $x{k+1}=\varphi(xk)$ 收敛于 ,即 $$\lim \limits{k \to \infty} x_k = x^*$$;
  3. 迭代值有误差估计式:

7.4 收敛性基本定理-2

用不动点迭代法求解方程:

要求相对误差 $\Delta < 10^{-8}$。

7.5 局部收敛定理

对迭代函数 $\varphi(x) = x + \lambda(x^2 - 5)$,试找出使迭代公式 $x_{k+1} = \varphi(x_k) \ (k=0,1,\cdots)$ 局部收敛于 $x^*=\sqrt{5}$ 的 $\lambda$ 的取值范围。

7.6 收敛速度与收敛阶

为使下列形式的迭代公式:

所产生的序列 ${x_k}$ 收敛于 $\sqrt[3]{a}$,并且有尽可能高的收敛阶,试确定其中常数 $p$,$q$,$r$。

7.7 $Newton$ 迭代法

用 $Newton$ 迭代法求下列方程的近似根:

7.8 非线性方程组的 $Newton$ 迭代法

用 $Newton$ 迭代法解非线性方程组:

8. 矩阵特征值计算

8.1 计算模最大特征值 $\lambda_1$ 的乘幂法

用乘幂法求矩阵 $\pmb{A}$ 的特征值和特征向量,其中:

8.2 计算模最小特征值 $\lambda_n$ 的反幂法

用反幂法求矩阵 $\pmb{A}$ 的特征值和特征向量,其中: