数值分析例题整理
目录
1. 误差与范数
1.1 误差的定义
证明：设 $x$ 的非零近似值 记为规格化形式 ，其中 $k$ 为整数，$a_1,a_2,\cdots a_n \in \{ 0,1,\cdots,9; \ a \ne 0 \}$，则
1.如果 有 $n$ 位有效数字，则
2.如果
则 $x^*$ 至少有 $n$ 位有效数字。
1.2 应取几位有效数字
要使 $\sqrt{20}$ 的近似值的相对误差不超过 $0.1\%$，问用计算器计算时，应取几位有效数字？
1.3 相对误差允许范围
计算球体积 $V=\displaystyle{\frac{4}{3}} \pi r^3$ 时，为使 $V$ 的相对误差不超过 $0.3\%$，求半径 $r$ 的相对误差允许范围。
1.4 算术运算的误差估计
设 $t=1.21$，$\mu = 3.65$，$\upsilon = 9.81$ 均准确到小数点后两位，试估计下列计算的相对误差：$x=t \mu + \upsilon$。
1.5 数值稳定性-1
分析递推公式
的数值稳定性，设实际计算时，取 $\sqrt{783} \approx 27.982$ 进行近似计算。
1.6 数值稳定性-2
试导出计算 $I_n = \displaystyle{\int_{0}^{1}}x^ne^x\mathrm{d}x \ (n=0,1,2,\cdots)$ 的递推公式，并讨论其数值稳定性。
1.7 函数序列的一致收敛性
证明函数序列 $f_n(x) = \displaystyle{\frac{x}{1+n^2x^2}}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$，即 $\lim \limits_{n \to \infty} f_n(x) = 0$。
1.8 向量范数
设 $\pmb{x} = (2,-4,3)^T$，求 、、。
1.9 矩阵范数
设 ，求 、、、。
2. 函数插值方法
2.1 多项式插值定理
证明：设已知 $[a,b]$ 上的函数 $f$ 在 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 上的值 $f_i=f(x_i) \ (i=0,1,\cdots,n)$，则存在唯一的次数 $\leqslant n$ 的多项式 $p_n(x) \in \pmb{P}_n$ 满足：
2.2 求过给定样点的插值多项式
求过三个样点 $A(0,1)$，$B(1,2)$，$C(2,3)$ 的插值多项式。
2.3 $Lagrange$ 线性插值/二次插值
设已知 $f(x) = e^{-x}$ 的四个函数值如下表所示：
试用 $Lagrange$ 公式的线性插值求 $e^{-1.4}$ 的近似值，用二次插值求 $e^{-2.1}$ 的近似值。
2.4 插值基函数的性质
证明：由 $n+1$ 个互异节点 $x_i \in [a,b]$ 构成的 $n+1$ 个插值基函数 $l_i(x) \ (i=0,1,\cdots,n)$ 具有性质：
2.5 三次 $Hermite$ 带导插值-1
对函数 $f(x) = \ln (x)$，给定：
试用三次 $Hermite$ 插值多项式 $H_3(x)$ 计算 $f(1.5)$ 的近似值并估计误差。
2.6 三次 $Hermite$ 带导插值-2
试用多种解法求一个次数 $\leqslant 3$ 的插值多项式 $H_3(x)$，满足插值条件：
3. 曲线拟合/连续函数逼近
3.1 线性拟合
已知实验数据如下：
试求其拟合曲线。
3.2 二次拟合
设已知实验数据如下表：
试求其二次多项式拟合模型：
3.3 指数模型的线性化拟合
已知离散数据如下（权 $\rho \equiv 1$）：
求形如 $s(x) = ae^{bx}$ 的拟合曲线。
3.4 双曲线模型的线性化拟合
已知离散数据如下（权 $\rho \equiv 1$）：
求形如 $s(x) = \displaystyle{\frac{x}{ax+b}}$ 的拟合曲线。
3.5 超定方程组的近似解
求下列超定方程组的近似解：
3.6 法方程的矩阵形式-1
已知实验数据如下：
以法方程的矩阵形式求解。
3.7 法方程的矩阵形式-2
已知实验数据如下：
按最小二乘拟合求形如 $s(x)=ax+bx^2$ 的经验公式。
5. 方程组数值解法——直接法
5.1 顺序 $Gauss$ 消去法
用顺序 $Gauss$ 消去法（消去过程加回代过程）解方程组：
5.2 列主元 $Gauss$ 消去法
用列主元 $Gauss$ 消去法解方程组，并求系数矩阵行列式值 $\det \pmb{A}$：
5.3 直接三角分解法
用直接三角分解法解方程组：
6. 方程组数值解法——迭代法
6.1 $Jacobi$ 迭代法/$Gauss$-$Seidel$ 迭代法-1
已知方程组:
分别用
- $Jacobi$ 迭代法
- $Gauss$-$Seidel$ 迭代法
以 $\pmb{x}^{(0)}=(0,0,0)^T$ 为初始向量，计算其前三个迭代值，并与精确解 $\pmb{x}^*=(3,2,1)^T$ 比较。
6.2 $Jacobi$ 迭代法/$Gauss$-$Seidel$ 迭代法-2
用 $Jacobi$ 迭代法和 $Gauss$-$Seidel$ 迭代法求解方程组 $\pmb{A}\pmb{x}=\pmb{b}$，其中：
取 $\pmb{x}^{(0)} = (1,-1,1)^T$，$\varepsilon = \displaystyle{\frac{1}{2}} \times 10^{-6}$。
6.3 迭代法收敛性-1
已知方程组：
使用 $J$ 法和 $GS$ 法求解此方程的收敛性。
6.4 迭代法收敛性-2
试证明解下列方程组：
的 $J$ 法收敛；而 $GS$ 法发散。
6.5 严格对角占优矩阵
设方程组：
试写出解此方程组的收敛的 $J$ 迭代公式和 $GS$ 迭代公式。
6.6 收敛速度问题
设方程组 $\pmb{A}\pmb{x}=\pmb{b}$，其中 ，，用下列迭代公式求解：
- 试找出使迭代收敛的实数 $\alpha$ 的取值范围；
- 试求出使迭代收敛最快的 $\alpha$ 值。
7. 非线性方程组的数值解法
7.1 二分法
设方程 $f(x) = e^x + 10x -2 = 0$，试：
- 证明它在 $(0,1)$ 内有且只有一个实根 $x^*$；
- 用二分法求这个实根 $x^*$；
- 若要求 $|x^* - x_n| < 10^{-6}$，问需二分区间 $[0,1]$ 多少次？
7.2 不动点迭代法
用不动点迭代法求方程 $x^3 + 4x^2 - 10=0$ 在 $[1,2]$ 内的一个实根。
7.3 收敛性基本定理-1
证明：设迭代函数 $\varphi \in C[a,b]$ 满足条件：
- 映内性：当 $a \leqslant x \leqslant b$ 时，有 $a \leqslant \varphi(x) \leqslant b$；
- 压缩性：存在常数 $0 < L < 1$，$L$ 称为压缩系数，使得
则可得：
- 函数 $\varphi$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一的不动点 $x^*$；
- 对任意初值 $x_0 \in [a,b]$，迭代公式 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 收敛于 ，即 ；
- 迭代值有误差估计式：
7.4 收敛性基本定理-2
用不动点迭代法求解方程：
要求相对误差 $\Delta < 10^{-8}$。
7.5 局部收敛定理
对迭代函数 $\varphi(x) = x + \lambda(x^2 - 5)$，试找出使迭代公式 $x_{k+1} = \varphi(x_k) \ (k=0,1,\cdots)$ 局部收敛于 $x^*=\sqrt{5}$ 的 $\lambda$ 的取值范围。
7.6 收敛速度与收敛阶
为使下列形式的迭代公式：
所产生的序列 $\{x_k\}$ 收敛于 $\sqrt[3]{a}$，并且有尽可能高的收敛阶，试确定其中常数 $p$，$q$，$r$。
7.7 $Newton$ 迭代法
用 $Newton$ 迭代法求下列方程的近似根：
7.8 非线性方程组的 $Newton$ 迭代法
用 $Newton$ 迭代法解非线性方程组：
8. 矩阵特征值计算
8.1 计算模最大特征值 $\lambda_1$ 的乘幂法
用乘幂法求矩阵 $\pmb{A}$ 的特征值和特征向量，其中：
8.2 计算模最小特征值 $\lambda_n$ 的反幂法
用反幂法求矩阵 $\pmb{A}$ 的特征值和特征向量，其中：
