题目描述
给定一个二叉树，检查它是否是镜像对称的。
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输入示例
例如，二叉树[1,2,2,3,4,4,3]是对称的
1
/ \
2 2
/ \ / \
3 4 4 3
但是下面这个1,2,2,null,3,null,3则不是镜像对称的
1
/ \
2 2
\ \
3 3
树的定义
首先，给出我们将要使用的树的节点TreeNode的定义：
/**
* Definition for a binary tree node.
*/
public class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int x) {
val = x;
}
}
方法一：递归
算法描述
如果一个树的左子树和右子树镜像对称，那么这个树就是对称的。
因此，该问题可以转化为：两个树在什么情况下互为镜像？
如果同时满足下列条件，则两个树互为镜像：
- 它们的两个根节点具有相同的值
- 每个树的右子树都与另一个树的左子树镜像对称
Java 实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
return isMirror(root, root);
}
public boolean isMirror(TreeNode t1, TreeNode t2) {
if (t1 == null && t2 == null) return true;
if (t1 == null || t2 == null) return false;
return (t1.val == t2.val)
&& isMirror(t1.right, t2.left)
&& isMirror(t1.left, t2.right);
}
}
Go 实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* type TreeNode struct {
* Val int
* Left *TreeNode
* Right *TreeNode
* }
*/
func isSymmetric(root *TreeNode) bool {
return isMirror(root, root)
}
func isMirror(t1 *TreeNode, t2 *TreeNode) bool {
switch {
case t1 == nil && t2 == nil:
return true
case t1 == nil || t2 == nil:
return false
default:
return (t1.Val == t2.Val)
&& isMirror(t1.Right, t2.Left)
&& isMirror(t1.Left, t2.Right)
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度：由于要遍历整个输入树一次，所以总的运行时间为 $O(N)$，其中 $N$ 是树中节点的数量。
- 空间复杂度：递归调用的次数受树的高度限制。在最糟糕的情况下，树是线性的，其高度为 $N$。因此，在最糟糕的情况下，由栈上的递归调用造成的空间复杂度为 $O(N)$。
方法二：迭代
算法描述
除了递归的方法外，还可以利用队列进行迭代。队列中每两个连续的结点应该是相等的，而且它们的子树互为镜像。
最开始，队列中包含的是root和root。该算法的工作原理类似于 BFS，但存在一些关键差异。
每次提取两个节点并比较它们的值。然后将两个节点的左右子节点按相反的顺序插入队列中。当队列为空时，或我们检测到树不对称（即从队列中取出两个不相等的连续节点）时，算法结束。
Java 实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
q.add(root);
while (!q.isEmpty()) {
TreeNode t1 = q.poll();
TreeNode t2 = q.poll();
if (t1 == null && t2 == null) continue;
if (t1 == null || t2 == null) return false;
if (t1.val != t2.val) return false;
q.add(t1.left);
q.add(t2.right);
q.add(t1.right);
q.add(t2.left);
}
return true;
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$O(N)$，因为要遍历整个输入树一次，其中 $N$ 是树中节点的总数。
- 空间复杂度：鉴于搜索队列需要额外的空间，在最糟糕的情况下，不得不向队列中插入 $O(N)$ 个节点。因此，空间复杂度为 $O(N)$。
